Иван Аржанцев
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Проблемы аффинной геометрии и бесконечно транзитивные действия

Конечномерное комплексное аффинное пространство - это место обитания объектов из многих разделов фундаментальной и прикладной математики, теоретической физики и других разделов естествознания. Примечательно, что с самим аффинным пространством и его автоморфизмами связан ряд ярких открытых математических проблем. Это знаменитая проблема якобиана, проблема сокращения, проблема линеаризации, проблема выпрямления (мы до сих пор не знаем, сколько прямых в трехмерном пространстве), проблема ручных и диких автоморфизмов. В первой части доклада мы сформулируем эти проблемы и кратко обсудим их текущее состояние. Вторая часть посвящена новому подходу к изучению групп автоморфизмов. Говорят, что действие группы G на множестве X бесконечно транзитивно, если для любого натурального m всякий набор из m попарно различных точек на X можно перевести в любой другой такой набор при помощи элемента группы G. В последнее время выяснилось, что для широких классов комплексных многообразий действие группы автоморфизмов бесконечно транзитивно. Мы покажем, как это свойство связано с гибкостью многообразия, и обсудим удивительный эффект - при некоторых ограничениях на действие транзитивность влечет бесконечную транзитивность.